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砝码的巧妙的运用过程

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砝码的巧妙的运用过程


  要想在天平上称出 1 到 40 磅在内的任何整磅数。

 这里有两种放置砝码的办法: (1)所有砝码只放进天平的一端, (2) 砝码可以放进天平的两端。对于(1) , 砝码具有两种状态, 不放或者放。 记不放为 0, 放为 1, 这个问题可以使用二进制来解决。 二进制的砝码重量设置为 1、 2、 4、 8、 16、 32。 在 1到 1+2+4+8+16+32 也就是 63 之内的任何数量都可以用 1、 2、 4、 8、 16、 32 中的某几个数相加得到。 所以问题(1) 的砝码数是 6 个, 每个砝码的重量设置为 1、2、 4、 8、 16、 32 磅。对于(2) , 砝码具有三种状态, 不放、 放在天平左端、 放在天平右端。 记

不放为 0, 放左边为 1, 放右边为-1, 这个问题可以使用三进制来解决。 在三进制中, 砝码的重量设置为 1、 3、 9、 27. 。 在 1 到 1+3+9+27 也就是 40 之内的任何数量都可以用 1、 3、 9、 27 中的某几个数相加或者相减获得。我们来看这几个砝码是如何称量 1 到 40 的:
1=1; 2=3-1; 3=3 ; 4=3+1; 5=9-3-1 ; 6=9-3 ;7=9-3+1; 8=9-1 ; 9=9 ; 10=9+1 ; 11=9+3-1……35=27+9-1; 36=27+9; 37=27+9+138=27+9+3-1; 39=27+9+3; 40=27+9+3+1这里, 加号意味着天平左边放置砝码, 减号意味着天平右边放置砝码(与被称重的物体放在同一端) 。如果我们增加两个砝码 81 磅和 243 磅, 用 6 个砝码可以就称重 1 到 364 磅的重量。 如果砝码继续按 3 的幂次增加重量, 则称重的范围越来越大。 用重量为1、 3^2、 3^3、 ……、 3^n 的 n 个砝码可以称出从 1 到(3^n-1) /2 的所有重量。问题是, 如果一个被称物体较重, 我们该如何在天平两端放置砝码呢? 这里涉及到十进制向三进制的计算。 像十进制转化为二进制一样, 转化方法就是连续的除法运算(这里不打算详细介绍) 。例如, (80)10 =(2222) 3等式右边的含义是, 80 可以用 2 个 1、 2 个 3、 2 个 9、 2 个 27 相加而成。在天平称重中, 我们要的是最少的砝码数, 我们可以把 2 变成(10-1)3 (简记为-1) , 也就是说, 一个大一级的砝码减去一个小一级的砝码。 大砝码放在天平左端, 小砝码和被称重物一同放在天平右端。因为, (2222)3 =(1000-1) 3 , 该式的含义就是用 2 个 1、 2 个 3、 2个 9、 2 个 27 加成的得数等于用 1 个 81 减去 1 的得数。所以, 要称重 80 磅的物体, 需要在天平左边放置 1 个 81 磅的砝码, 在天平右边放置一个 1 磅的砝码。又例如, 如果我们用最少的砝码称出了一个 331 磅的东西, 我们究竟用了哪

几个砝码呢?因为(331)10 =(110021) 3 =(1101-11) 3所以, 要称重 331 磅的物体, 需要在天平左边放置 1 个 243 磅的砝码、 1 个81 磅的砝码、 1 个 9 磅的砝码、 1 个 1 磅的砝码, 在天平右边放置一个 3 磅的砝码。因为每一次称量能区别 3 个球, 将 12 表示为三进制。在文章的最后, 我们把巴协(Bachet) 的砝码问题稍稍扩大一些: 要想在天平上称出 1 到 500 磅在内的任何整磅数, 问最少需要几个多重的砝码? 这里有两种放置砝码的办法: (1) 所有砝码只放进天平的一端, (2) 砝码可以放进天平的两端。

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